Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E、F分別是PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求證：AD⊥PB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）做DA的中點(diǎn)M，連接MF，ME，通過(guò)中位線的性質(zhì)證明出EM∥PA，MF∥AB，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定定理證明出面MEF∥面ABP，繼而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出EF∥平面PAB；
（2）先分別證明出PA⊥AD，PD⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AD⊥平面PAB，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）做DA的中點(diǎn)M，連接MF，ME，
∵E、F、M均為中點(diǎn)，
∴EM∥PA，MF∥AB，
∵PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
∴面MEF∥面ABP，
∵EF?面MEF，
∴EF∥平面PAB；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵底面ABCD為正方形，
∴AD⊥AB．
∵PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴AD⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)線面平行，線面垂直判定定理的記憶．