Question

給出以下五個(gè)命題：
①對于任意的a＞0，b＞0，都有a^lgb=b^lga成立；
②直線y=x•tanα+b的傾斜角等于α；
③與兩條異面直線都平行且距離相等的平面有且只有一個(gè)；
④在平面內(nèi)，如果將單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，那么終點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半徑為1的圓；
⑤已知函數(shù)y=f（x），若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|＜M•|x|對定義域內(nèi)的任意x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．對于二次函數(shù)f（x）=x²+1，該函數(shù)是倍約束函數(shù)．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①中，由a＞0，b＞0得出lga^lgb=lgb^lga=lga•lgb，判定①正確；
②中，由當(dāng)且僅當(dāng)α∈[0，

π

2

）∪（

π

2

，π）時(shí)，直線y=x•tanα+b的傾斜角等于α，判定②錯(cuò)誤；
③中，由分別過兩異面直線a，b作平面α，β，能使α∥β的平面有且僅有一對，得出③正確；
④中，由平面內(nèi)單位向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)時(shí)，它終點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半徑為1的圓，判定④正確；
⑤中，舉例說明二次函數(shù)f（x）=x²+1不是倍約束函數(shù)，從而判定⑤錯(cuò)誤．

解答： 解：對于①，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵b^lga＞0，a^lgb＞0，∴l(xiāng)ga^lgb=lgb•lga，lgb^lga=lga•lgb，∴a^lgb=b^lga；∴①正確；
對于②，當(dāng)α∈[0，

π

2

）∪（

π

2

，π）時(shí)，直線y=x•tanα+b的傾斜角等于α，否則不等于；∴②錯(cuò)誤；
對于③，分別過兩條異面直線a，b作平面α，β，其中能使α∥β的平面有且僅有一對；
若要作一平面與兩異面直線同時(shí)平行且距離相等，則所作平面必須與α，β同時(shí)平行且距離相等，這樣的平面有且只有一個(gè)；∴③正確；
對于④，在平面內(nèi)，將單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，它終點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半徑為1的圓；∴④正確；
對于⑤，∵f（0）=1，|f（0）|=M•0=0，不滿足|f（x）|≤M•|x|，∴二次函數(shù)f（x）=x²+1不是倍約束函數(shù)，⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題有①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題通過命題真假的判定，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，空間中的兩條異面直線的概念以及應(yīng)用，平面向量的知識和新定義的問題應(yīng)用等知識，是綜合題目．