Question

17．根據(jù)我國相關法律規(guī)定，食品的含汞量不得超過1.00ppm，沿海某市對一種貝類海鮮產(chǎn)品進行抽樣檢查，抽出樣本20個，測得含汞量（單位：ppm）數(shù)據(jù)如下表所示：

分組	（0，0.25]	（0.25，0.50]	（0.50，0.75]	（0.75，1]	（1，1.25]	（1.25，1.5]
數(shù)據(jù)	6	4	3	2	2	3

（1）若從這20個產(chǎn)品匯總隨機抽取3個，求恰有一個含汞量超標的概率；
（2）以此20個產(chǎn)品的樣本數(shù)據(jù)來估計這批貝類海鮮產(chǎn)品的總體，若從這批數(shù)量很大的貝類海鮮產(chǎn)品中任選3個，記ξ表示抽到的產(chǎn)品含汞量超標的個數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）從這20個產(chǎn)品匯總隨機抽取3個基本事件總數(shù)n=${C}_{20}^{3}$，恰有一個含汞量超標包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{5}^{1}{C}_{15}^{2}$．由此利用等可能事件概率計算公式能求出從這20個產(chǎn)品匯總隨機抽取3個，求恰有一個含汞量超標的概率．
（2）這批貝類海鮮產(chǎn)品中含汞量超標的概率為P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，抽到的產(chǎn)品含汞量超標的個數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

解答 解：（1）記“從這20個產(chǎn)品匯總隨機抽取3個，恰有一個含汞量超標”為事件A，
則所求事件概率為：
P（A）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{35}{76}$．
（2）依題意，這批貝類海鮮產(chǎn)品中含汞量超標的概率為：
P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
抽到的產(chǎn)品含汞量超標的個數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）=\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）^{0}$=$\frac{1}{64}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．