Question

設函數f（x）=x³-x²-3，g（x）=

a

x

+xlnx，其中a∈R．
（1）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）-f（x₂）≥M，求整數M的最大值；
（2）若對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）f′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]，令f'（x）=0，得x1=0，x2=

2

3

，列表討論能求出整數M的最大值．
（2）由（1）知，在[

1

2

，2]上，[f（x）]_max=f（2）=1，要滿足對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[

1

2

，2]上恒成立，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]，令f'（x）=0得x1=0，x2=

2

3

，…（2分）
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
f'（x）		-	0	+
f（x）	-3	單調遞減	極小值	單調遞增	1

可得，[f（x）]_max=1，[f(x)]min=f(

2

3

)=-

85

27

．…（5分）
要使存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）-f（x₂）≥M，只需M≤[f(x)]max-[f(x)]min=

112

27

，故整數M的最大值為4．…（7分）
（2）由（1）知，在[

1

2

，2]上，[f（x）]_max=f（2）=1，要滿足對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[

1

2

，2]上恒成立，…（9分）
即

a

x

+xlnx≥1在[

1

2

，2]上恒成立，分離參數可得：a≥x-x²lnx，
令h（x）=x-x²lnx，h'（x）=1-x-2xlnx，可知，當x∈[

1

2

，1)，h′(x)＞0，h(x)單調遞增，當x∈（1，2]，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，…（12分）
所以h（x）在x=1處取得最大值h（1）=1，
所以a的取值范圍是a≥1．…（13分）

點評：本題主要考查最值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．