Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²-2ax+2）e^x，其中a＞0．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=2．
①求y=f（x）在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程；
②若y=f（x）的圖象在區(qū)間[-2，2]上與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=（ax²-2a+2）e^x=a(x2-2+

2

a

)ex．通過對a分類討論：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2（x²-2x+1）e^x．
（i）f′（x）=2（x²-1）e^x，f′（0）=-2，f（0）=2．即可得出y=f（x）在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程；
（ii）令f′（x）=0，解得x=±1．列出表格，由表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．進(jìn)而得出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=（ax²-2a+2）e^x=a(x2-2+

2

a

)ex．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2

a

-2＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=（x+1）（x-1）e^x，當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減．
當(dāng)1＜a時(shí)，2-

2

a

＞0，f′（x）=a(x+

2- 2 a

)(x-

2- 2 a

)ex，
令f′（x）＞0，解得x＞

2- 2 a

或x＜-

2- 2 a

，f（x）在(-∞，-

2- 2 a

)，(

2- 2 a

，+∞)上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得-

2- 2 a

＜x＜

2- 2 a

，f（x）在(-

2- 2 a

，

2- 2 a

)上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2（x²-2x+1）e^x．
（i）f′（x）=2（x²-1）e^x，f′（0）=-2，f（0）=2．
∴y=f（x）在點(diǎn)M（0，f（0））處的切線方程為y-2=-2x，即2x+y-2=0；
（ii）令f′（x）=0，解得x=±1．
列出表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=

8

e

；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（1）=0．
又f（-2）=

18

e2

，f（2）=2e²．
∴

18

e2

≤m≤

8

e

時(shí)，y=f（x）的圖象在區(qū)間[-2，2]上與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
因此：實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

18

e2

，

8

e

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．