Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx+

1

2

x²，g（x）=3x+b-1．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），
（�。┣蠛瘮�(shù)y=F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ⅱ）若方程F（x）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，即可得出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）（�。┣髮�(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)y=F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ⅱ）方程F（x）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則極大值大于0，極小值小于0，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)f（x）=2lnx+

1

2

x²，求導(dǎo)得，y′=

2

x

+x，當(dāng)x=1時(shí)，f′（1）=3
又∵切點(diǎn)為（1，

1

2

），∴切線方程為y-

1

2

=3（x-1）
即6x-2y-5=0；
（Ⅱ）依題意得F（x）=2lnx+

1

2

x²-3x-b+1（x＞0）
（ⅰ）F′（x）=

(x-1)(x-2)

x

由F′（x）＞0，可得x＞2或0＜x＜1，
由F′（x）＜0，可得1＜x＜2．
∴函數(shù)F（x）0的單調(diào)遞增區(qū)間為 （0，1）和 （2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為 （1，2 ）；
（ⅱ） 由（�。┛芍�：當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)（x），F(xiàn)′（x）的變化情況如表

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）		- 3 2 -b		2ln2-3-b

∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值，并且極大值為F（1）=-

3

2

-b；
當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值，并且極小值為F（2）=2ln2-3-b
若方程F（x）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則F（1）=-

3

2

-b＞0，F(xiàn)（2）=2ln2-3-b＜0
解得2ln2-3＜b＜-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．