Question

在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，P為線段EF上任意一點，實數(shù)x，y滿足

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，設(shè)△ABC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，記

S1

S

=λ₁，

S2

S

=λ₂，則λ₁•λ₂取得最大值時，2x+3y的值為

 

．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示．由于點P在△ABC的中位線EF上，可得

S△BPC

S

=

1

2

．于是

S1+S2

S

=

1

2

，即S1+S2=

1

2

S．利用基本不等式可得：當且僅當S1=S2=

1

4

S時S₁S₂取得最大值

1

16

S2．此時點P為線段EF的中點．以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點O．利用向量的平行四邊形法則即可得出x，y的值．

解答： 解：如圖所示．
∵點P在△ABC的中位線EF上，∴

S△BPC

S

=

1

2

．
∴

S1+S2

S

=

1

2

，即S1+S2=

1

2

S．
∴

1

2

S≥2

S1S2

，當且僅當S1=S2=

1

4

S時取等號，此時S₁S₂取得最大值

1

16

S2．
此時點P為線段EF的中點．
以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點O．
則

PB

+

PC

=

PD

=2

PO

=-2

PA

，
化為

PA

+

1

2

PB

+

1

2

PC

=

0

．
∵

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，
∴x=y=

1

2

．
∴2x+3y=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、向量共面的基本定理、三角形的中位線定理、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．