【題目】已知函數(shù) ,

(1)求的取值范圍,使在閉區(qū)間上存在反函數(shù);

(2)當時,函數(shù)的最小值是關(guān)于的函數(shù),求的最大值及其相應的值;

(3)對于,研究函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像公共點的個數(shù),并寫出公共點的橫坐標.

【答案】(1);(2)當 時,最大值

3)當時,公共點有個,橫坐標為

時,公共點有2個,橫坐標為;

時,公共點有個,橫坐標為,

時,公共點有個,橫坐標為.

【解析】

1)根據(jù)在閉區(qū)間上存在反函數(shù),則上單調(diào),從而得到關(guān)于的不等式,求出的范圍;(2)動軸定區(qū)間,按照,,分別研究函數(shù)的最小值,然后得到,在分段研究的最大值,得到答案;(3)

1)函數(shù) 圖像的對稱軸為.

因為在閉區(qū)間上是存在反函數(shù),

所以在閉區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),

所以得到.

.

2)函數(shù),圖像的對稱軸為

,即時,上單調(diào)遞增,

所以

,即 時,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

,即時,上單調(diào)遞減,

所以,

時,單調(diào)遞增,所以

時,,開口向下,對稱軸為,

所以在時候有最大值為,

時,單調(diào)遞減,在時,有最大值,

綜上所述,當 時,有最大值,為.

3)公共點的橫坐標滿足 .

是方程 的實數(shù)解.

,

則直線 有公共點時的橫坐標與上述問題等價.

①當 時,;

解方程

,

②當 時,.

解方程

;

,則,

時,公共點有個,橫坐標為;

時,公共點有2個,橫坐標為.

,則

,則

時,不在對應的的范圍內(nèi),

則公共點有個,橫坐標為,

時,都在對應的的范圍內(nèi),且不相等,

則公共點有個,橫坐標為

綜上所述,

時,公共點有個,橫坐標為;

時,公共點有2個,橫坐標為

時,公共點有個,橫坐標為,

時,公共點有個,橫坐標為.

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