Question

若非零函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：f（x）為減函數(shù)；
（3）當(dāng)f（4）=

1

16

時(shí)，解不等式f（x-3）•f（5）≤

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f²（

x

2

），結(jié)合函數(shù)f（x）為非零函數(shù)可得；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；
（3）由f（4）=

1

16

可得f（2）=

1

4

，從而化簡(jiǎn)不等式f（x-3）•f（5）≤

1

4

為f（x-3+5）≤f（2），從而利用單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）證明：f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f²（

x

2

）＞0，
（2）證明：∵f（0）=f²（0），∴f（0）=1；
∴f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；
∴f（-b）=

1

f(b)

；
任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
則f（x）為減函數(shù)；
（3）由f（4）=f²（2）=

1

16

，則f（2）=

1

4

，
原不等式轉(zhuǎn)化為f（x-3+5）≤f（2），
結(jié)合（2）得：x+2≥2，
∴x≥0；
故不等式的解集為{x|x≥0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用，屬于中檔題．