Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)lnx＜ax對(duì)于x∈（0，+∞）上恒成立時(shí)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，證明：++…++…+＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）lnx＜ax對(duì)于x∈（0，+∞）上恒成立，等價(jià)于f（x）_max＜0，求出最大值，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）先證明，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得（x＞0）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜，由f′（x）＞0可得x＞，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（）；
（Ⅱ）解：lnx＜ax對(duì)于x∈（0，+∞）上恒成立，等價(jià)于f（x）_max＜0
由上知，a≤0時(shí)，不成立；
a＞0時(shí)，，∴；
（Ⅲ）證明：∵函數(shù)f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1時(shí)，
∴l(xiāng)nx-x＜-1
∴l(xiāng)nx＜x-1
令，則，∴，∴
∴，∴
∴++…++…+＞+…+=
當(dāng)n→+∞時(shí)，→．
∴++…++…+＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．