(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0;
(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽得的20個(gè)號碼互不相同的概率為P.證明:P<(
9
10
)
19
1
e2
分析:(Ⅰ)先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
在定義域上為增函數(shù),即證明f′(x)≥0在(-1,+∞)恒成立,再考慮當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,故當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
(Ⅱ)先計(jì)算概率P=
A
100
20
10020
,再證明
A
100
20
10020
=
100×99×…×81
10020
(
9
10
)
19
=
100
90
(
90
100
)
20
,即證明99×98×…×81<(90)19,最后證明(
9
10
)
19
<e-2,即證(
10
9
)
19
>e2,即證19ln
10
9
>2,即證ln
10
9
2
19
,而這個(gè)結(jié)論由(1)所得結(jié)論可得
解答:解:(Ⅰ)∵f′(x)=
1
1+x
-
2(x+2)-2x
(x+2)2
=
x2
(1+x)(x+2)
≥0,(x>-1),(僅當(dāng)x=0時(shí)f′(x)=0)
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,故當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張,然后放回,連續(xù)抽取20次,則抽得的20個(gè)號碼互不相同的概率為P=
A
20
100
10020
,要證P<(
9
10
19
1
e2

先證:P=
A
20
100
10020
(
9
10
)
19
 即證
100×99×…×81
10020
100
90
(
90
100
)
20

即證99×98×…×81<(90)19而99×81=(90+9)×(90-9)=902-92<902
98×82=(90+8)×(90-8)=902-82<902
91×89=(90+1)×(90-1)=902-12<902
∴99×98×…×81<(90)19
即P<(
9
10
)
19

再證:(
9
10
)
19
<e-2,即證(
10
9
)
19
>e2,即證19ln
10
9
>2,即證ln
10
9
2
19

由(Ⅰ)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
令x=
1
9
,則ln(1+
1
9
)-
2-
1
9
1
9
+2
=ln(1+
1
9
)-
2
19
>0,即ln
10
9
2
19

綜上有:P<(
9
10
)
19
<e-2
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識.通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
(1-an).
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(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求Tn=
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+
1
bn
的值.

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