設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2(a>
2
)
,
(1)若a=
3
2
,解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)<ln2+
1
4
;
(2)證明:關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解,且f(m)和f(n)分別是函數(shù)f(x)的極小值和極大值(m,n為該方程兩根,且m>n).
分析:(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性,將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式,即可求得不等式的解集;
(2)依題意,f(x)的定義域?yàn)椋?a,+∞),構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x2+2ax+1,利用判別式即可確定方程2x2+2ax+1=0有兩相異解,再研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可證f(m)為f(x)的極小值,f(n)為f(x)的極大值.
解答:(1)解:a=
3
2
時(shí),求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=
2x2+3x+1
x+
3
2
=
(2x+1)(x+1)
x+
3
2
.  (2分)
f(x)的定義域?yàn)椋?
3
2
,+∞).      (3分)
當(dāng)-
3
2
<x<-1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-1<x<-
1
2
時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>
1
2
時(shí),f'(x)>0.
從而,f(x)在(-
3
2
,-1),(-
1
2
,+∞)單調(diào)增加,在(-1,-
1
2
)單調(diào)減少.(5分)
e
x
-
3
2
≥ -
1
2
,f(
1
2
)=
1
4
+ln2

∴不等式f(e
x
-
3
2
)<ln2+
1
4
等價(jià)于e
x
-
3
2
1
2

e
x
<2= eln2

∴0≤x<ln22
即所求不等式的解集為{x|0≤x<ln22}.(7分)
(2)證明:依題意,f(x)的定義域?yàn)椋?a,+∞),---(8分)
令g(x)=2x2+2ax+1,因?yàn)間(-a)=1=g(0)>0,g(x)的對(duì)稱軸為x=-0.5a>-a,
△=4a2-8a>0(a2>2),g(-a)=1>0
∴g(x)在(-a,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn).即方程2x2+2ax+1=0有兩相異解------(11分)
由已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x>-a}且f′(x)=2x+
1
x+a
=
2x2+2ax+1
x+a
---(11分),
若m,n(m>n)方程2x2+2ax+1=0有兩相異解,則f'(x)>0的解集為(-a,n)∪(m,+∞)(∵a>0)(12分)
x (-a,n) n (n,m) m (m,+∞)
y’ + 0 - 0 +
y 極大值 極小值
故f(m)為f(x)的極小值,f(n)為f(x)的極大值,(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查解不等式,考查函數(shù)的極值,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性.
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)
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e2

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(1)若當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,方程ln(x+a)+2x2-m=0恰好有三個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍;
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