【題目】已知函數(shù).
(1)若對任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個不同的點,滿足,且,使得曲線在點處的切線與直線平行,求證:.
【答案】(1)1;(2)證明見解析
【解析】
(1) 對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥g(x)恒成立aln(x+1)﹣x.
令h(x)=aln(x+1)﹣x(x≥0).利用導數(shù)的運算法則可得h′(x).
分類討論:當a≥1時,當a<1時,只要驗證最小值是否大于0即可得出.
(2)p(x)=f(x﹣1)=alnx,kAB.利用導數(shù)的運算法則可得.由于曲線y=f(x)在x3處的切線與直線AB平行,可得.利用p′(x)在定義域內(nèi)單調(diào)性質(zhì)要證:x3.即證明.即證明.變形可得,令,則t>1.要證明的不等式等價于(t+1)lnt>2(t﹣1).構(gòu)造函數(shù)q(t)=(t+1)lnt﹣2(t﹣1),(t>1).利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
(1)恒成立恒成立,
令,
則,
(i)若,則恒成立,
函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),
恒成立,又,
符合條件.
(ii)若,由,可得,
解得和(舍去),
當時,;
當時,;
∴,這與h(x)≥0相矛盾,應(yīng)舍去.
綜上,,的最小值為1.
(2),,
又,,
,
由,易知其在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),
欲證證明,
即,
變形可得:,
令,原不等式等價于,
等價于,
構(gòu)造函數(shù),
則,
令,
當時,,
在上為單調(diào)遞增函數(shù),,
在上為單調(diào)遞增函數(shù),
在上恒成立,
成立,得證.
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【題目】已知函數(shù),其中無理數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的極值點有三個,最小的記為,最大的記為,若的最大值為,求的最小值.
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【題目】以下四個命題中:①在回歸分析中,可用相關(guān)系數(shù)r的值判斷模型的擬合效果,|r|越大,模擬的擬合效果越好;②在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等)的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為;③對分類變量x與y的隨機變量來說,越小,判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大.其中真命題的個數(shù)為__________.
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【題目】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且.
(I)求和的通項公式;
(II)設(shè)數(shù)列滿足,求;
(III)對任意正整數(shù),不等式成立,求正數(shù)的取值范圍.
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【題目】某公園為了美化環(huán)境和方便顧客,計劃建造一座圓弧形拱橋,已知該橋的剖面如圖所示,共包括圓弧形橋面和兩條長度相等的直線型路面、,橋面跨度的長不超過米,拱橋所在圓的半徑為米,圓心在水面上,且和所在直線與圓分別在連結(jié)點和處相切.設(shè),已知直線型橋面每米修建費用是元,弧形橋面每米修建費用是元.
(1)若橋面(線段、和弧)的修建總費用為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當為何值時,橋面修建總費用最低?
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【題目】已知橢圓: 的左、右焦點分別為, ,且離心率為, 為橢圓上任意一點,當時, 的面積為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點,延長直線, 分別與橢圓交于點, ,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求證: 為定值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)由題,由此求出,可得橢圓的方程;
(2)設(shè), ,
當直線的斜率不存在時,可得;
當直線的斜率不存在時,同理可得.
當直線、的斜率存在時,,
設(shè)直線的方程為,則由消去通過運算可得
,同理可得,由此得到直線的斜率為,
直線的斜率為,進而可得.
試題解析:(1)設(shè)由題,
解得,則,
橢圓的方程為.
(2)設(shè), ,
當直線的斜率不存在時,設(shè),則,
直線的方程為代入,可得,
, ,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當直線的斜率不存在時,同理可得.
當直線、的斜率存在時,,
設(shè)直線的方程為,則由消去可得:
,
又,則,代入上述方程可得
,
,則
,
設(shè)直線的方程為,同理可得,
直線的斜率為,
直線的斜率為,
.
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有3個零點,對于下列4個說法正確的是( )
A.在上存在,滿足
B.在有且僅有1個最大值點
C.在單調(diào)遞增
D.的取值范圍是
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