已知向量
a
=（mx2，-1），
b
=（
1
mx-1
，x）（m是常數(shù)），且f（x）=
1
a
•
b
．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（
x
2
）-
x
2
，討論當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）首先把給出的兩個(gè)向量的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，化簡后運(yùn)用奇函數(shù)的定義即可求解使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的實(shí)數(shù)m的值；
（2）g（x）=f（
x
2
）-
x
2
=m-
2
x
-
x
2
=
-x2+2mx-4
2x
，令h（x）=-x2+2mx-4，利用判別式判斷二次函數(shù)零點(diǎn)的情況，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）由題意知
a
•
b
=
mx2
mx-1
-x=
x
mx-1
，
所以f（x）=
1
a
•
b
=
mx-1
x
=m-
1
x
．
由題知對(duì)任意的不為零的實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），
即m+
1
x
=-m+
1
x
成立，所以m=0．
（2）g（x）=f（
x
2
）-
x
2
=m-
2
x
-
x
2
=
-x2+2mx-4
2x
，
令h（x）=-x2+2mx-4，∴△=4m2-16，則有△＞0得，m＜-4或m＞4時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
由△=0得，m=±4時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
由△＜0得，-4＜m＜4時(shí)，h（x）沒有零點(diǎn)，
∴m＜-4或m＞4時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，m=±4時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，-4＜m＜4時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，模、夾角，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是正確寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1+an=2+
(n+1)(3n+4)
an+1-an
（n∈N*，an＞0）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：
3n
(n+1)(n+2)
≤
1
a1-1
+
1
a2-1
+…+
1
an-1
＜
1
2
+
2
．（注：可選用公式12+22+32+…+n2=
1
6
n（n+1）（2n+1）（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=sin2x-2sin2x，y=sin2x的最小正周期為T，則f（T）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ae2x+bex（a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=x．
（Ⅰ）當(dāng)b=2時(shí)，若F（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0 時(shí)，設(shè)y=f（x）的圖象C1與y=g（x）的圖象C2相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線交C1于點(diǎn)M（x0，y0），求證f′（x0）＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn） （n∈N*）順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N*）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0＜a＜1），對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形．如果所有的等腰三角形AnBnAn+1中存在等腰直角三角形，則a的取值可以是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+4x+3，x＞0
x，-1≤x≤0
1
x
，		x＜-1
，g（x）=f（x）+2k，若函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex（其中a∈R）．
（1）若x=0為f（x）的極值點(diǎn)，求a得值；
（2）在（1）的條件下，解不等式f（x）＞（x-1）（
1
2
x2+x+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若將函數(shù)y=sin（ωx+
π
3
）（ω＞0）的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位，與函數(shù)y=sin（ωx+
π
4
）的圖象重合，則ω的最小值為（　　）
A、
1
12
B、
1
3
C、2
D、
23
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為
 
．

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