Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=3，a_n+1+a_n=2+

(n+1)(3n+4)

an+1-an

（n∈N^*，a_n＞0）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：

3n

(n+1)(n+2)

≤

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

2

+

2

．（注：可選用公式1²+2²+3²+…+n²=

1

6

n（n+1）（2n+1）（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式變形得到(an+1-1)2-(an-1)2=3n2+7n+4，分別取n=1，2，3，…，n-1后累加，分組求和后得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式左側(cè)，由放縮法證明不等式右側(cè)．

解答： （1）解：由a_n+1+a_n=2+

(n+1)(3n+4)

an+1-an

，得
an+12-an2=2an+1-2an+3n2+7n+4，
即(an+1-1)2-(an-1)2=3n2+7n+4．
∴(a2-1)2-(a1-1)2=3×12+7×1+4，
(a3-1)2-(a2-1)2=3×22+7×2+4，
(a4-1)2-(a3-1)2=3×32+7×3+4，
…
(an-1)2-(an-1-1)2=3(n-1)2+7(n-1)+4（n≥2）．
累加得：(an-1)2-(a1-1)2=3[1²+2²+…+（n-1）²]+7[1+2+…+（n-1）]+4（n-1）
=3×

1

6

(n-1)n(2n-1)+7×

n(n-1)

2

+4(n-1)=n³+2n²+n-4．
∴(an-1)2=n3+2n2+n=n(n+1)2，
則an-1=(n+1)

n

，an=(n+1)

n

+1（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)成立，
∴an=(n+1)

n

+1；
（2）證明：∵

1

an-1

=

1

(n+1) n

．
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

=

1

2 1

+

1

3 2

+

1

4 3

+…+

1

(n+1) n

．
首先利用數(shù)學(xué)歸納法證明左邊．
當(dāng)n=1時(shí)，

3×1

(1+1)(1+2)

=

1

2

=

1

(1+1) 1

，原不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

1

2 1

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

≥

3k

(k+1)(k+2)

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2 1

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

+

1

(k+2) k+1

≥

3k

(k+1)(k+2)

+

1

(k+2) k+1

．
=

3k+ k+1

(k+1)(k+2)

．
要證

3k+ k+1

(k+1)(k+2)

≥

3(k+1)

(k+2)(k+3)

，只需證(k+3)(3k+

k+1

)≥3(k+1)2，
即3k+(k+3)

k+1

≥3，此式在k≥2時(shí)顯然成立．
∴設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
綜上，

3n

(n+1)(n+2)

≤

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

成立．
又當(dāng)n≥2時(shí)，有

1

(n+1) n

＜2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

2 1

+

1

3 2

+

1

4 3

+…+

1

(n+1) n

＜

1

2

+2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

+2(

1

2

-

1

n+1

)=

1

2

+

2

-

2

n+1

＜

1

2

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)歸納法與放縮法證明數(shù)列不等式，解答此題要求學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察問(wèn)題和思維問(wèn)題的能力，邏輯運(yùn)算能力，在歸納法中綜合運(yùn)用了分析法，特別是放縮時(shí)注意對(duì)放縮“度”的把握，屬難度較大的題目．