Question

已知點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n） （n∈N^*）順次為一次函數(shù)y=

1

4

x+

1

12

圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N^*）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意n∈N^*，點(diǎn)A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．如果所有的等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在等腰直角三角形，則a的取值可以是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：計算題,推理和證明

分析：當(dāng)n為奇數(shù)、當(dāng)n為偶數(shù)時可分別求得|A_nA_n+1|，作x軸垂線，垂足為C_n，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況可求得a值．

解答： 解：當(dāng)n為奇數(shù)時，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），所以|A_nA_n+1|=2（1-a）；
當(dāng)n為偶數(shù)時，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），所以|A_nA_n+1|=2a；
作x軸垂線，垂足為C_n，則|B_nC_n|=

n

4

+

1

12

，
要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．
當(dāng)n為奇數(shù)時，有2（1-a）=2（

n

4

+

1

12

），即12a=11-3n．①
當(dāng)n=1時，a=

2

3

；當(dāng)n=3時，a=

1

6

；當(dāng)n≥5，①式無解．
當(dāng)n為偶數(shù)時，有12a=3n+1，同理可求得a=

7

12

．
綜上所述，上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在直角三角形，此時a的值為

2

3

或

1

6

或

7

12

．
故答案為：

2

3

或

1

6

或

7

12

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想，比較基礎(chǔ)．