Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

4

a_n+

3

4

，則{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：本題根據(jù)條件S_n=

1

4

a_n+

3

4

，令n=1，可以求出首項的值，再由n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，得到遞推公式an=-

1

3

an-1，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再用等比數(shù)列 的通項公式求出a_n的表達式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

4

a_n+

3

4

，①
∴當n=1時，
S1=

1

4

a1+

3

4

，
∵S₁=a₁，
∴a₁=1．
當n≥2，n∈N^*時，
Sn-1=

1

4

an-1+

3

4

，②
將①-②得到：an=

1

4

an-

1

4

an-1，
∴an=-

1

3

an-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=1×(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n．
故答案為：an=(-

1

3

)n-1．

點評：本題考查了數(shù)列前n項和與數(shù)列通項的關系、等比數(shù)列 的通項公式，本題難度不大，屬于基礎題．