Question

已知命題p：f（x）=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義，命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a） 的定義域為R．如果p和q有且僅有一個正確，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：依題意，可求得命題p真時a≤1；命題q真時a＞

1

2

；利用命題p和q有且僅有一個正確，即p真q假或者p假q真即可求得a的取值范圍．

解答： 解：對于命題p，由1-a•3^x≥0知，
a≤(

1

3

)x，x∈（-∞，0]，
∴a≤1；
對于命題q，ax²-x+a＞0在R上恒成立，
①若a=0，則-x＞0在R上恒成立，顯然不可能，舍去；
②若a≠0，則

a＞0 △=1-4a2

，解得：a＞

1

2

；
∵命題p和q有且僅有一個正確，
∴p真q假或者p假q真，
由p真q假，可得a≤

1

2

；由p假q真，可得a＞1．
綜上可得，所求a的取值范圍為（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算推理能力，屬于中檔題．