Question

（2013•石景山區(qū)一模）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q滿足條件：
①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；
②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”），
已知函數(shù)f（x）=

log2x(x＞0) -x2-4x(x≤0)

，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（　�。�

A．0對(duì)

B．1對(duì)

C．2對(duì)

D．3對(duì)

Answer 1

分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答：解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x²-4x，
則函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x²-4x
由題意知，作出函數(shù)y=x²-4x（x＞0）的圖象，
看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)．
如圖，
觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2．
即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．
故答案選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．