【題目】將圓周上的所有點進(jìn)行三染色。證明：存在無窮多個等腰三角形，其頂點均為圓周上的同色點。

【答案】見解析

【解析】

先證明一個引理.

引理 對一個正十三邊形的頂點進(jìn)行三染色，則必有一個三頂點同色的等腰三角形.

證明 反證法.

假設(shè)存在一種染色方法，使得在正十三邊形中不存在同色等腰三角形.

由抽屜原理，知至少有五個點同色.

下面考慮這五個點的分布情形.

1 若這五個點中任意兩點不相鄰，設(shè)這五個中相鄰兩點所間隔的邊數(shù)依次為a、b、c、d、e，則a+b+c+d+e=13，且a、b、c、d、e≥2.

故至少有兩個值為2，其余三個要么均為3 ，要么還存在第三個值為2，即a、b、c、d、e中存在三個數(shù)相等.這三條線段有六個端點，而同色點只有五個.因此，至少有兩條線段有公共頂點，則構(gòu)成了等腰三角形，與假設(shè)矛盾.

2 若這五個點中存在相鄰的點，不妨設(shè)為.據(jù)假設(shè)，知不存在同色等腰三角形.從而，排除點.如圖.

若點也染了該色，則排除點，在剩下的點中任選兩個染色，均與假設(shè)矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性，知點也染了其他顏色.

若點染了該色，則排除點，在剩下的點中任選兩個染色，均與假設(shè)矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性，知點也染了其他顏色.

在剩下的點中任選三個染色，均與假設(shè)矛盾.

因此，假設(shè)不成立.

引理得證.

由于圓周上的點可以構(gòu)成無窮多個正十三邊形，據(jù)引理，知存在無窮多個同色等腰三角形.

又由于只有三種顏色，則存在無窮多個等腰三角形，其頂點均為圓周上的同色點.

證明 記△DEF的外接圓、△BHC的外接圓分別為.

因為B、F、H、D四點共圓，所以，PB·PH=PD·PF.

于是，點P在圓與的根軸上.

類似地，由C、E、H、D四點共圓，知點Q 在圓與的根軸上.

由于點S在圓與的根軸PQ上，故點S在圓上.

以H為反演中心，-HA·HD為反演冪作反演變換，則

.

由于M為EF與圓的交點，S為圓與的交點，從而，.

因此，M、H、S三點共線.

練習(xí)冊系列答案
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A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

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（Ⅰ）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．

（Ⅱ）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

附表：

P（）

0．100

0．010

0．001

k

2．706

6．635

10．828

，（其中）

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【題目】給出下列說法：

①如果一條線段的中點在一個平面內(nèi)，那么它的兩個端點也在這個平面內(nèi)；

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

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其中所有正確說法的序號是______.

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(1)求測試成績在[80，85)內(nèi)的頻率；

(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識宣講小組，定期在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，并在這6名學(xué)生中隨機選取2名參加市組織的藍(lán)色海洋教育義務(wù)宣講隊，求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率．

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依次計算數(shù)列，，，，…的前四項的值，由此猜測的有限項的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

解：計算 ，

，

① ，

② ，

由此猜想 ③ ．（*）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想．

（i）當(dāng)時，左邊，右邊，所以等式成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即

④ ．

那么，當(dāng)時，

⑤

⑥

⑦ ．

等式也成立．

根據(jù)（i）和（ⅱ）可以斷定，（*）式對任何都成立．

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（3）若高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于120分的為優(yōu)秀，低于120分的為不優(yōu)秀，則按高考成績優(yōu)秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機抽取2名，求這2名學(xué)生的高考成績均為優(yōu)秀的概率.

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