Question

【題目】已知函數(shù) 是偶函數(shù).
（1）求 的值；
（2）若函數(shù) 沒有零點，求 得取值范圍；
（3）若函數(shù) ， 的最小值為0，求實數(shù) 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 是偶函數(shù)，∴ ，
即 對任意 恒成立.
∴ ，
∴
（2）解：函數(shù) 沒有零點，即方程 無實數(shù)根.
令 ，則函數(shù) 的圖象與直線 無交點，
∵
，
又 ，∴ ，
∴ 的取值范圍是 .
（3）解：由題意 ， ，
令 ， ， ，
①當(dāng) ，即 時，
， ；
②當(dāng) ，即 時，
， （舍去）；
③當(dāng) ，即 時，
， （舍去）.
綜上可知，實數(shù)
【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義f(-x) =f(x)再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 即可求出結(jié)果。(2)首先把零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再構(gòu)造函數(shù)g ( x )利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為函數(shù) y = g ( x ) 的圖象與直線 y = a 無交點，再根據(jù)題意利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù) g(x) 的取值范圍，進(jìn)而求出使得函數(shù) y = g ( x ) 的圖象與直線 y = a 無交點的a的取值范圍。(3)由整體思想 t = 2x ∈ [ 1 , 3 ]轉(zhuǎn)化整理函數(shù) h(x)為φ ( t ) = t2 + m t，利用二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題對對稱軸分情況討論，進(jìn)而求出在不同區(qū)間上的m的值。