Question

已知f（x）=x（

1

2x-1

+k）．
（1）當k=

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）在（1）的條件下，證明f（x）＞0；
（3）若對任意x∈[1，2]時，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調性的性質,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可，
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質當x＞0，可知2^x-1＞0，故得到f（x）＞0，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，繼而得到f（x）＞0恒成立；
（3）分離參數(shù)，得到k＞

1

1-2x

在[1，2]恒成立，構造函數(shù)g（x）=

1

1-2x

，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最大值，問題得以解決．

解答： 解：（1）當k=

1

2

時，f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x

2x+1

2(2x-1)

，
∵f（-x）=-x

2-x+1

2(2-x-1)

=x

2x+1

2(2x-1)

=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
（2）f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
當x＞0時，2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
故當x＜0，f（x）＞0，
綜上所述f（x）＞0恒成立，
（3）令f（x）＞0，x∈[1，2]，則x（

1

2x-1

+k）＞0，
即k＞

1

1-2x

在[1，2]恒成立，
設g（x）=

1

1-2x

，
則g′（x）=

2xln2

(1-2x)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)g（x）在[1，2]為增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（2）=

1

1-22

=-

1

3

，
∴k＞-

1

3

故k的取值范圍為（-

1

3

，+∞）

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，以及指數(shù)函數(shù)的性質，以及導數(shù)和函數(shù)的最值的關系，培養(yǎng)了學生的轉化能力，運算能力，屬于中檔題