Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，S不為等腰梯形；
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，S與C₁D₁的交點(diǎn)R滿足C₁R=

1

3

；
④當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為

6

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行投影及平行投影作圖法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面可判斷選項(xiàng)的正誤．

解答： 解：如圖
當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=

1+ 1 4

=

5

2

，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②不正確；
由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足0＜CQ＜

1

2

，只需在DD₁上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，如圖，
延長(zhǎng)DD₁至N，使D₁N=

1

2

，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=

1

3

，故正確；
④由③可知當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯(cuò)誤；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為

1

2

AC₁•PF=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

，故正確．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及正方體的截面問題，屬中檔題．