Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，設(shè)圓：，不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，線段、分別與橢圓交于、，，垂足為.設(shè)，，的面積為，的面積為.

①試確定與的關(guān)系式；、

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）利用三角形的內(nèi)切圓半徑公式與外接圓的半徑公式，求得兩個(gè)圓的半徑，根據(jù)條件，列出等量關(guān)系式，求得結(jié)果；

（2）①根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，以及圓的半徑，可知，即，利用點(diǎn)在圓上，利用向量的關(guān)系，得到坐標(biāo)的關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，整理得到；②根據(jù)①中的條件，可以整理得到，是定值，再設(shè)直線的方程為，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用垂直關(guān)系得到之后應(yīng)用面積公式得到，之后利用面積公式得到，可以發(fā)現(xiàn)越小，其值越大，再將等于零時(shí)的情況代入求得結(jié)果.

（1）根據(jù)題意，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

則有，因?yàn)?/span>，

整理得，

設(shè)的外接圓的半徑為，

則有，即，所以，

根據(jù)題意有，所以，即，

整理得，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓C的方程為：.

（2）①根據(jù)題意，原點(diǎn)O到直線l的距離為，且，

所以，，

設(shè)，

由題意可知：，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，同理，

因?yàn)?/span>，所以，

同理，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，

整理得，

所以的關(guān)系式為.

②因?yàn)?/span>，

，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，即，

所以，，

設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，

可得，整理得，

由①， ，

由①知，所以，即，

所以，整理得，

即，整理得：，

，

設(shè)直線，由，解得，

根據(jù)題意可知：

因?yàn)?/span>是增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，

此時(shí)，此時(shí)達(dá)到最大值，

所以的最大值是.