Question

已知函數(shù)f（x）=-

2a

x

+lnx-2
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求a的值．
（2）若對任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線垂直的關(guān)系即可求出a的值．
（2）根據(jù)不等式恒成立，將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最值，即可求出的取值范圍．

解答： 解（1）∵f（x）=-

2a

x

+lnx-2，
∴f′（x）=

2a

x2

+

1

x

，∴f′（1）=2a+1，
又∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直
∴2a+1=-1   
∴a=-1．
（2）f（x）=-

2a

x

+lnx-2的定義域為（0，+∞），
∵對任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立
∴f（x）_min＞2a，
f′（x）=

2a

x2

+

1

x

=

x+2a

x2

，
當a≥0時，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時x→0時，f（x）→-∞不合題意，
當a＜0時f（x）在（0，-2a）單調(diào)遞減，在（-2a，+∞）單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（-2a）=ln（-2a）-1＞2a，
令g（x）=lnx+x-1則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且g（1）=0
∴-2a＞1，
綜上a＜-

1

2

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．