M=
x2+y2
+
x2+(y-1)2
+
(x-1)2+y2
+
(x-1)2+(y-1)2
,當(dāng)x,y變化時(shí)M的最小值為
 
考點(diǎn):函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:設(shè)A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)=(|
AP
|+|
PC
|)+(|
BP
|+|
PD
|),再用不等式|
a
|+|
b
|≥|
a
+
b
|求最小值.
解答: 設(shè)A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),
則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|
=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)
=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)
=(|
AP
|+|
PC
|)+(|
BP
|+|
PD
|)
≥|
AP
+
PC
|+|
BP
+
PD
|
=|
AC
|+|
BD
|
AC
=(1,1)-(0,0)=(1,1),
BD
=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
∴|
AC
|=
12+12
=
2
、|
BD
|=
(-1)2+12
=
2

∴|
AC
|+|
BD
|=
2
+
2
=2
2

∴M
2
,
當(dāng)
AP
PC
同向,
BP
PD
同向時(shí)取等號(hào),設(shè)
PC
AP
,
PD
BP
,
代入坐標(biāo)得1-x=λx,1-y=λy,-x=μx-μ,1-y=μy,解得λ=μ=1,x=y=
1
2

所以,當(dāng)x=y=
1
2
時(shí),M的最小值為2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查平面向量的運(yùn)用,長(zhǎng)度可以看做向量的模是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,一條準(zhǔn)線為l:x=4,若橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA交直線l于點(diǎn)M,直線PB交直線l于點(diǎn)N,記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2
(1)求橢圓C的方程;
(2)求k1•k2的值;
(3)求證:以MN為直線的圓過x軸上的定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為
5
,則它的漸近線方程為( 。
A、y=±2x
B、y=±
5
2
x
C、y=±
1
2
x
D、y=±
6
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB是圓O的直徑,G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),GCD是圓O的割線,過點(diǎn)G作AG的垂線,交直線AC于點(diǎn)E,交直線 AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)G作圓O的切線,切點(diǎn)為H.
(1)求證:C,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共圓;
(2)若GH=8,GE=4,求EF的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知命題p:“對(duì)任意x∈(0,1),
1
2
x2
-lnx-a≥0”,命題q:“存在x∈R,x2+2ax-8-6a=0”,若“p且q”為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-
2a
x
+lnx-2
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求a的值.
(2)若對(duì)任意x∈(0,+∞)都有f(x)>2a成立,試求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=3,b=
3
,且2acosA=bcosC+ccosB,則邊c的長(zhǎng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),以F為圓心且經(jīng)過點(diǎn)A的圓交l于B、D兩點(diǎn),若∠ABD=90°,△ABF的面積為3
3
,則p=( 。
A、1
B、
3
C、2
D、
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x)=cosx+2xf′(
π
6
),則f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是
 

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同步練習(xí)冊(cè)答案