Question

已知分段函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，x∈（0，+∞）時的解析式為f（x）=

x

x+1

．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性得到f（-1）=-f（1）代入求出即可；
（2）任取x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），則f（-x）=

-x

-x+1

，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，從而得到函數(shù)在（-∞，0）是的解析式；
（3）任取x₁，x₂為區(qū)間（0，+∞）上的兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，通過計算△y的值，從而證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（-1）=-f（1）=-

1

2

；
（2）任取x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），∴f（-x）=

-x

-x+1

，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

x

-x+1

，x∈（-∞，0）；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂為區(qū)間（0，+∞）上的兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

x2+1

-

x1

x1+1

=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴（x₂+1）＞0，（x₁+1）＞0，
又x₂-x₁=△x＞0，
∴△y＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了函數(shù)的奇偶性問題，是一道基礎題．