Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n=

(2n)2

(2n-1)(2n+1)

，S_n為其前n項(xiàng)的和，則 

lim

n→∞

Sn

n

=

1

．

Answer 1

分析：據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：是分式形式，進(jìn)行分子常數(shù)化，分母是等差數(shù)列兩項(xiàng)的乘積，所以利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可求得結(jié)果．

解答：解：a_n=

(2n)2

(2n-1)(2n+1)

=

4n2

4n2-1

=1+

1

4n2-1

=1+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=n+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

 )
=n+

1

2

(1-

1

2n+1

)=n+

n

2n+1

，
∴

lim

n→∞

Sn

n

=

lim

n→∞

(1+

1

2n+1

)=1
故答案為：1

點(diǎn)評：考查求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法：關(guān)鍵是看通項(xiàng)的特點(diǎn)：當(dāng)通項(xiàng)為分式形式，且分子是常數(shù)，分母是等差數(shù)列兩項(xiàng)的乘積是采用的方法是裂項(xiàng)求和，對通項(xiàng)公式的處理是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．