Question

數列{a_n}中，已知a₁=2，對n∈N^*，恒有a_n•a_n+1=2×4ⁿ成立．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設b_n=a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1，求數列{b_n}前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由遞推公式，求出{a_n}的通項公式，從而證明等比數列；
（2）由等比數列前n項和公式，求出S_n．

解答： 解：（1）證明：a₁=2，又a₁•a₂=2×4=8，得a₂=4，
∵an•an+1=2×4n，∴an+1•an+2=2×4n+1，
兩式相除得

an+2

an

=4，知數列{a_n}奇數項成等比，首項a₁=2，公比q=4，
∴n為奇數時，an=a1×4

n-1

2

=2n，
當 n為奇數時，則n+1為偶數，由an•an+1=2×4n得2n•an+1=2×4n，an+1=2n+1，
∴對n∈N^*，恒有an=2n，

an+1

an

=

2n+1

2n

=2（定值），故數列{a_n}是等比數列；
（2）S_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁+a₃+a₅）+（a₇+a₉+a₁₁）+…+（a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1），
數列{b_n}前n項和S_n即是數列{a_n}奇數項和（共3n項），
則S_n=

2(1-43n)

1-4

=

2

3

(26n-1)．

點評：由遞推公式求通項公式，需要根據遞推公式的特點，進行適當變形，還考查了等比數列的前n項和公式，這些都是�？碱}．屬于中檔題．