Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-2，0），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標原點，T為直線x=-3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P、Q，當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意可得

c=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（-2，0），設(shè)T（-3，m），可得直線TF的斜率k_TF=-m，由于TF⊥PQ，可得直線PQ的方程為x=my-2．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系．由于四邊形OPTQ是平行四邊形，可得

OP

=

QT

，即可解得m．此時四邊形OPTQ的面積S=2×

1

2

×|OF|•|y2-y1|．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

c=2 c a = 6 3 a2=b2+c2

，
解得c=2，a=

6

，b=

2

．
∴橢圓C的標準方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（-2，0），
設(shè)T（-3，m），則直線TF的斜率kTF=

m-0

-3-(-2)

=-m，
∵TF⊥PQ，可得直線PQ的方程為x=my-2．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my-2 x2+3y2=6

，化為（m²+3）y²-4my-2=0，
△＞0，∴y₁+y₂=

4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=

-12

m2+3

．
∵四邊形OPTQ是平行四邊形，
∴

OP

=

QT

，∴（x₁，y₁）=（-3-x₂，m-y₂），
∴

x1+x2= -12 m2+3 =-3 y1+y2= 4m m2+3 =m

，解得m=±1．
此時四邊形OPTQ的面積S=2×

1

2

×|OF|•|y2-y1|═2

( 4m m2+3 )2-4× -2 m2+3

=2

3

．

點評：本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓相交可得根與系數(shù)的關(guān)系及弦長問題、向量相等問題、平行四邊形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．