已知函數(shù)數(shù)學公式
(1)是否存在a<b且a,b∈[1,+∞),使得當函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]時,值域為數(shù)學公式?若存在,求出a,b的值,若不存在,說明理由;
(2)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],值域為[ma,mb](m≠0),求實數(shù)m的取值范圍.

解:(1)若存在,則由于當a,b∈[1,+∞)時,在[1,+∞)單調(diào)遞增,則,可知a,b是方程x2-8x+8=0的實根,求得滿足條件…..(6分)
(2)若存在,則易知m>0,a>0
當a,b∈(0,1)時,由于在(0,1)單調(diào)遞減,則可得f(a)=mb,f(b)=ma,則得,相減得
由于a≠b,則,所以,∴-1=0,這是不可能的,
故此時不存在實數(shù)a,b滿足條件;…(8分)
當a∈(0,1),b∈[1,+∞)時,顯然1∈[a,b],而f(1)=0則0∈[a,b],矛盾.
故此時也不存在實數(shù)a,b滿足條件;…(10分)
當a,b∈[1,+∞)時,由于在[1,+∞)單調(diào)遞增,則f(a)=ma,f(b)=mb,
∴a,b是方程mx2-x+1=0的兩個大于1的實根,
∴由可得m的取值范圍是.…(14分)
分析:(1)利用函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,即可求得結(jié)論;
(2)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的值域,即可求實數(shù)m的取值范圍.
點評:本題考查函數(shù)與方程的綜合運用,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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