Question

【題目】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是PB,PD的中點(diǎn)．

（I）求證：PB∥平面FAC；

（II）求三棱錐P-EAD的體積；

（III）求證：平面EAD⊥平面FAC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，推導(dǎo)出OF∥PB，由此能證明PB//平面FAC；

（2）由PA⊥平面ABCD，知為棱錐的高，由，知，由此能求出結(jié)果；

（3）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而平面，由此能證明平面平面.

詳解：（I）連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，

在△PBD中，O，F(xiàn)分別是BD，PD中點(diǎn)，

所以OF∥PB，

又因?yàn)?/span>OF平面FAC， PB平面FAC，

所以PB//平面FAC，

（II）法1：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，AB,AD平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又因?yàn)?/span>AB⊥AD，，PA,AB平面PAB，

所以AD⊥平面PAB，

在直角△PAB中，PA=AB=2，E為PB中點(diǎn)，

所以，

所以三棱錐P-EAD的體積為．

法2：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，所以PA為棱錐P-ABD的高．

因?yàn)?/span>PA=AB=2，底面ABCD是正方形，

所以，

因?yàn)?/span>E為PB中點(diǎn)，所以，

所以．

（III）證明：

因?yàn)?/span>AD⊥平面PAB，PB平面PAB，

所以AD⊥PB，

在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，

又，AE,AD平面EAD，

所以PB⊥平面EAD，

又OF∥PB，

所以OF⊥平面EAD，

又OF平面FAC，

所以平面EAD⊥平面FAC．