已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，如圖，點(diǎn)O為底面的圓心，點(diǎn)P為圓錐的頂點(diǎn)．若圓柱的高等于它的底面直徑．
（1）求證：圓柱的任意一條母線和圓錐的任意一條母線所成的角都相等；
（2）求圓柱的全面積和圓錐的全面積的比值．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，h=2r，
（1）通過(guò)圓錐的任意一條母線與軸OP組成全等的直角三角形，證明即可．
（2）求出圓柱的全面積和圓錐的全面積，即可得到它們的比值．
解答： 解：設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，h=2r．
（1）因?yàn)閳A柱的所有母線都平行于OP，圓錐的任意一條母線與軸OP組成全等的直角三角形，
如圖，∠APO為圓柱的母線和圓錐的母線所成的角．…（2分）．
在Rt△AOP中，tan∠APO=
OA
AP
=
1
2
，則∠APO=arctan
1
2
…（4分）
∴，圓柱的任意一條母線和圓錐的任意一條母線所成的角都相等，為arctan
1
2
．…（6分）
（2）h=2r，l=
h2+r2
=
5
r…（8分）
S柱=2πrh+2πr2=6πr2，…（9分）
S錐=πr2+
1
2
l•2πr=(1+
5
)πr…（10分）
故
S柱
S錐
=
6
1+
5
=
3
2
(
5
-1)．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積的求法，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4-a2=6，S10=-465．
（1）求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）求Sn的最小值，并求相應(yīng)的n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明：（1）對(duì)于任意n≥3，n∈N*，
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n+1
；
（2）對(duì)于任意n≥2，n∈N*，
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在四棱錐S-ABCD中，△ABD為正三角形，CB=CD，∠DCB=120°，SD=SB，
（1）求證：SC⊥BD；
（2）M、N分別為線段SA、AB上一點(diǎn)，若平面DMN∥平面SBC，試確定M、N的位置，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若向量
a
，
b
是單位向量，則向量
a
-
b
在
a
+
b
方向上的投影是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（-
1
2
，2cosx），
n
=（cos2x+
3
sin2x，cosx），記函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若f（
B
2
）=1，b=3，c=2，求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3sin（2x-
π
3
），x∈R
（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫函數(shù)f（x）=3sin（2x-
π
3
），x∈[0，π]的簡(jiǎn)圖；
（2）求f（x）=3sin（2x-
π
3
），x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)g（x）=3cos2x的圖象只經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換就可得到f（x）=3sin（2x-
π
3
），x∈R的圖象？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題：“?x∈[-2，1]，使x2+2x+a≥0”為真命題，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖是甲、乙兩名同學(xué)三次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的莖葉圖，則甲、乙兩名同學(xué)中成績(jī)更穩(wěn)定的是
 
．（填“甲”或“乙”）

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