Question

已知在四棱錐S-ABCD中，△ABD為正三角形，CB=CD，∠DCB=120°，SD=SB，
（1）求證：SC⊥BD；
（2）M、N分別為線段SA、AB上一點(diǎn)，若平面DMN∥平面SBC，試確定M、N的位置，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BD中點(diǎn)O，連CO，SO，利用CB=CD，SD=SB，推斷出OC⊥BD，SO⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理知BD⊥平面SOC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出SC⊥BD．
（2）如圖，M，N分別為線段SA，AB的中點(diǎn)，在△SAB中，由M，N分別為線段SA，AB的中點(diǎn)，推斷出MN∥SB，根據(jù)線面平行的判定定理知MN∥平面SBC，又在△BCD中，因為∠DCB=120°，CD=CB，可求得∠CBD，根據(jù)△ABD為正三角形，求得∠DBA，進(jìn)而求得∠CBA，推斷出CB⊥AB，進(jìn)而可知DN∥BC，根據(jù)線面平行的判定定理知DN∥平面SBC，最后依據(jù)面面平行的判定定理證明出平面NMD∥平面SBC．

解答： （1）證明：取BD中點(diǎn)O，連CO，SO，因為CB=CD，SD=SB，
∴OC⊥BD，SO⊥BD，
∵OC∩SO=O，OC?平面SOC，SO?SOC，
∴BD⊥平面SOC，
又SC?面SOC，
∴SC⊥BD．
（2）如圖，M，N分別為線段SA，AB的中點(diǎn)，
在△SAB中，因為M，N分別為線段SA，AB的中點(diǎn)，
∴MN∥SB，
∵SB?平面SBC，MN?平面SBC，
∴MN∥平面SBC，
在△BCD中，因為∠DCB=120°，CD=CB，
∴∠CBD=30°，
又△ABD為正三角形，
∴∠DBA=60°，
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB，
∴DN∥BC，
∵BC?平面SBC，DN?平面SBC，
∴DN∥平面SBC
∵M(jìn)N∩DN=N，MN?平面MND，DN?平面MND，
∴平面NMD∥平面SBC．

點(diǎn)評：本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，判定，線面垂直，線面平行的性質(zhì)判定定理．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和靈活運(yùn)用．