Question

【題目】設(shè)f（logax）= ，（0＜a＜1）
（1）求f（x）的表達(dá)式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)logax=t，則x=at，

∴f（t）= = =

∴f（x）=

∴f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣f（x），

∴f（x）為奇函數(shù)

（2）解：函數(shù)為增函數(shù)，

∵f（x）=

設(shè)x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= （ ）= （ ﹣ + ﹣ ），

∵0＜a＜1時(shí)，

∴a2﹣1＜0， ＞1，

∴ ﹣ ＞0，+ ﹣ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：∵f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，

∴f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），

∵f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；

∴

解得，1＜m ，

故m的取值范圍為（1， ）

【解析】（1）利用換元法，設(shè)logax=t，則x=at ， 代入化簡(jiǎn)即可，再利用奇偶性的定義證明即可，（2）函數(shù)為增函數(shù)，利用定義證明即可，（3）利用函數(shù)為奇函數(shù)和增函數(shù)，得到不等式組，解得即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．