Question

3．已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（i）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（ii）當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
（1）當(dāng)x∈（2，4]時，求f（x）的解析式；
（2）尋求“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為單調(diào)函數(shù)”的充要條件；
（3）是否存在n∈z，使得f（2ⁿ+1）=9，若存在，則求出n的值，若不存在，請說明理由；
（4）試寫出函數(shù)f（x）的解析式，指出函數(shù)有關(guān)性質(zhì)（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）令x∈（2，4]，則$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，由滿足的兩個條件，即可得到所求；
（2）運(yùn)用已知解析式，結(jié)合條件，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）的結(jié)論，解方程，假設(shè)存在，即可判斷是否存在；
（4）由（2），寫出解析式，以及函數(shù)的定義域和值域，及單調(diào)性．

解答 解：（1）令x∈（2，4]，則$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，
即有f（$\frac{x}{2}$）=2-$\frac{x}{2}$，
又f（2x）=2f（x），即有f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2（2-$\frac{x}{2}$）=4-x，
當(dāng)x∈（2，4]時，f（x）=4-x；
（2）由x∈（1，2]時，f（x）=2-x為遞減函數(shù)，
可得x∈（2，4]時，f（x）=4-x為遞減函數(shù)，
由對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，
可得x∈（4，8]時，f（x）=8-x為遞減函數(shù)，
…，x∈（2^n-1，2ⁿ]時，f（x）=2ⁿ-x為遞減函數(shù)，
推廣，當(dāng)n∈Z，可得當(dāng)x∈（2^n-1，2ⁿ]時，
f（x）=2ⁿ-x為遞減函數(shù)．
即有“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為單調(diào)函數(shù)”的充要條件為（a，b）=（2^n-1，2ⁿ]，n為整數(shù)；
（3）由x∈（2^m-1，2^m]時，f（x）=2^m-x，
可令f（x）=9，x=2^m-9，假設(shè)存在，即有2^m-9═2ⁿ+1，
即為2^m-2ⁿ=10=2×5，方程無整數(shù)解，
故不存在n∈z，使得f（2ⁿ+1）=9；
（4）x∈（2^n-1，2ⁿ]時，f（x）=2ⁿ-x，n為整數(shù)，
定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)閇0，2^n-1），
在區(qū)間（2^n-1，2ⁿ]（n為整數(shù)）為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法和性質(zhì)及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．