【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= ,F(xiàn)為PC的中點,AF⊥PB.

(1)求PA的長;
(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.

【答案】
(1)解:如圖,連接BD交AC于點O

∵BC=CD,AC平分角BCD,∴AC⊥BD

以O(shè)為坐標原點,OB、OC所在直線分別為x軸、y軸,

建立空間直角坐標系O﹣xyz,

則OC=CDcos =1,而AC=4,可得AO=AC﹣OC=3.

又∵OD=CDsin = ,

∴可得A(0,﹣3,0),B( ,0,0),C(0,1,0),D(﹣ ,0,0)

由于PA⊥底面ABCD,可設(shè)P(0,﹣3,z)

∵F為PC邊的中點,∴F(0,﹣1, ),由此可得 =(0,2, ),

=( ,3,﹣z),且AF⊥PB,

=6﹣ =0,解之得z=2 (舍負)

因此, =(0,0,﹣2 ),可得PA的長為2


(2)解:由(I)知 =(﹣ ,3,0), =( ,3,0), =(0,2, ),

設(shè)平面FAD的法向量為 =(x1,y1,z1),平面FAB的法向量為 =(x2,y2,z2),

=0且 =0,∴ ,取y1= =(3, ,﹣2),

同理,由 =0且 =0,解出 =(3,﹣ ,2),

∴向量 、 的夾角余弦值為cos< , >= = =

因此,二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于 =


【解析】(1)連接BD交AC于點O,等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD,因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系如圖所示.結(jié)合題意算出A、B、C、D各點的坐標,設(shè)P(0,﹣3,z),根據(jù)F為PC邊的中點且AF⊥PB,算出z=2 ,從而得到 =(0,0,﹣2 ),可得PA的長為2 ;(2)由(1)的計算,得 =(﹣ ,3,0), =( ,3,0), =(0,2, ).利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出 =(3, ,﹣2)和 =(3,﹣ ,2)分別為平面FAD、平面FAB的法向量,利用空間向量的夾角公式算出 、 夾角的余弦,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值

練習冊系列答案
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②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線;

③當相關(guān)性系數(shù)時,兩個變量正相關(guān);

④如果兩個變量的相關(guān)性越強,則相關(guān)性系數(shù)就越接近于

其中真命題的個數(shù)為( 。

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A. B. C. D.

【答案】D

【解析】在三棱錐中,因為, , ,所以,則該幾何體的外接球即為以為棱長的長方體的外接球,則 ,其體積為 ;故選D.

點睛:在處理幾何體的外接球問題,往往將所給幾何體與正方體或長方體進行聯(lián)系,常用補體法補成正方體或長方體進行處理,本題中由數(shù)量關(guān)系可證得 從而幾何體的外接球即為以為棱長的長方體的外接球,也是處理本題的技巧所在.

型】單選題
結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù),則的大致圖象為(

A. B.

C. D.

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(1)畫出函數(shù)fx),xR剩余部分的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)fx),xR的單調(diào)區(qū)間;(只寫答案)

2)求函數(shù)fx),xR的解析式.

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