Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）要使方程f（x）=x+b在區(qū)間[-1，1]上恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義判定f（x）在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)性，基本步驟是取值，作差，判符號，下結(jié)論；                      
（2）由f（x）是[-1，1]上的奇函數(shù)，得f（0）=0；由x∈（0，1]時(shí)f（x）的解析式，求得x∈[-1，0）時(shí)f（x）的解析式，即得所求；
（3）把方程f（x）=x+b化為f（x）-x=b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，求g（x）在[-1，1]上的最值，利用g（x）的圖象與y=b有公共點(diǎn)，求出b的取值范圍．

解答： 解：（1）對于任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＞x₂，有
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

；
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁+x₂＞0，
∴2x1+x2＞1，4x1+1＞0，4x2+1＞0；
又函數(shù)y=2^x 在R內(nèi)遞增，
∴2x1＞2x2，
∴2x2-2x1＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在 （0，1]上是減函數(shù)；                      
（2）由題意f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0；
又x∈（0，1]時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

，
∴x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

；     
綜上，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式為
f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1] 0，       x=0 - 2x 4x+1 ，x∈[-1，0)

；                    
（3）方程f（x）=x+b 可化為f（x）-x=b，
記g（x）=f（x）-x，
由（1）及題設(shè)知，g（x）在[-1，1]為奇函數(shù)，且在（0，1]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，
g_max（x）=g（0）=

1

2

，
g_min（x）=g（1）=-

3

5

，
∴g（x）∈[-

3

5

，

1

2

），
由奇函數(shù)的性質(zhì)，得x∈[-1，0]時(shí)，g（x）∈（-

1

2

，

3

5

]，
綜上，g（x）值域?yàn)閇-

3

5

，

3

5

]，
∴當(dāng)y=g（x） 圖象與直線y=b 有公共點(diǎn)時(shí)，b的范圍為[-

3

5

，

3

5

]，
也即方程f（x）=x+b 在[-1，1]上恒有實(shí)數(shù)解時(shí)b的取值范圍為[-

3

5

，

3

5

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用定義判定函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的解析式和判定方程用實(shí)數(shù)解的問題，是綜合題．