Question

已知f（x）是定義在區(qū)間[0，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0有

f(a)+f(b)

a+b

＞0恒成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）≤m²-2am+1，對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在[-1，1]上是的增函數(shù)；
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（x）≤m²-2am+1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
下用定義證明：
設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
則：f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)＜0，
可知f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）_max=1
依題意有m²-2am+1≥1，對(duì)a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的圖象是一條線段，
則

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
即

m≥0或m≤-2 m≥2或m≤0

∴m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．