【題目】已知函數(shù),.
(1)若,判斷的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)若,求在上的最小值;
(3)若,且有三個(gè)不同實(shí)根,求的取值范圍.
【答案】(1)是奇函數(shù);(2);(3).
【解析】
(1)由a=0,可得f(x)為奇函數(shù),運(yùn)用定義即可得到結(jié)論;
(2)求得f(x)的解析式,討論a<1時(shí),當(dāng)1≤a≤3時(shí),當(dāng)3<a≤4時(shí),當(dāng)a>4時(shí),結(jié)合單調(diào)性,可得最小值;
(3)由題意可得f(x)不單調(diào),求得f(x)的分段函數(shù),討論當(dāng)x≥a遞增,且a≥0,x<a不單調(diào),以及當(dāng)x<a遞增,且a<0,x≥a不單調(diào),可得的范圍,即可得到所求取值范圍.
解:(1)a=0,可得f(x)=x|x|+bx為奇函數(shù),
由定義域?yàn)?/span>R,f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣(x|x|+bx)=﹣f(x),
則f(x)為奇函數(shù);
(2)b=0,可得f(x)=x|x﹣a|
,
由于1≤x≤3,
當(dāng)a<1時(shí),可得f(x)=x2﹣ax在[1,3]遞增,
可得f(x)的最小值為f(1)=1﹣a;
當(dāng)a>3時(shí),f(x)=ax﹣x2在[1,]遞增,(,3]遞減,
由f(1)﹣f(3)═a﹣1﹣(3a﹣9)=8﹣2a,
可得a>4時(shí),f(1)<f(3),即為f(1)取得最小值a﹣1;
當(dāng)3<a≤4時(shí),f(1)≥f(3),可得f(3)取得最小值3a﹣9;
當(dāng)1≤a≤3時(shí),由f(x)≥0,可得x=a時(shí),取得最小值0,
綜上可得,a<1時(shí),f(x)的最小值為1﹣a;
當(dāng)1≤a≤3時(shí),f(x)的最小值為0;
當(dāng)3<a≤4時(shí),f(x)的最小值為3a﹣9;
當(dāng)a>4時(shí),f(x)的最小值為a﹣1;
(3)b>0,且f(x)有三個(gè)不同實(shí)根,
則f(x)不單調(diào),
且f(x),
當(dāng)x≥a遞增,且a≥0,x<a不單調(diào),
可得a,成立,又a,即a>b;
即ab,
即3ab<a2+b2<6ab,
則的取值范圍是(,);
當(dāng)x<a遞增,且a<0,x≥a不單調(diào),
可得a即a<﹣b,又a,即a≤b;
即有ab,不成立.
綜上可得的取值范圍是(,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年某開(kāi)發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備,通過(guò)市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本3000萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬(wàn)元,且,由市場(chǎng)調(diào)研知,每輛車售價(jià)6萬(wàn)元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2019年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額成本)
(2)2019年產(chǎn)量為多少(百輛)時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí),;
(Ⅱ)存在,使得成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對(duì)恒成立,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),圓,定點(diǎn),點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),曲線與軸的焦點(diǎn)分別為,直線和分別與軸相交于兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積是否為定值?如果還請(qǐng)求出定值,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A. 消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油
D. 某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球,現(xiàn)從甲,乙兩個(gè)盒內(nèi)各取2個(gè)球.
(1)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率;
(2)設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作,“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演變成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié),某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用),每一件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);
(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用,其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與前方障礙物之間的距離(并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間),當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警提醒,等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車,某種算法(如下圖所示)將報(bào)警時(shí)間劃分為4段,分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間,相應(yīng)的距離分別為、、、,當(dāng)車速為(米/秒),且時(shí),通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表(其中系數(shù)隨地面濕滑成都等路面情況而變化,).
階段 | 0、準(zhǔn)備 | 1、人的反應(yīng) | 2、系統(tǒng)反應(yīng) | 3、制動(dòng) |
時(shí)間 | 秒 | 秒 | ||
距離 | 米 | 米 |
(1)請(qǐng)寫(xiě)出報(bào)警距離(米)與車速(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求時(shí),若汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施,仍以此速度行駛,則汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間(精確到0.1秒);
(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛,報(bào)警距離均小于80米,則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下?合多少千米/小時(shí)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,若的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn),則關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①的最小正周期為 ②若的最大值為2,則
③在有兩個(gè)零點(diǎn) ④在區(qū)間上單調(diào)
其中所有正確結(jié)論的標(biāo)號(hào)是( )
A.①③④B.①②④C.②④D.①③
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