【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可

試題解析：

（Ⅰ）時， ， ，

故， ，

故切線方程是： ，即；

（Ⅱ），

①當(dāng)時，由于，得： ， ，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

②當(dāng)時， ，得，

在區(qū)間上， ，

在區(qū)間上， ，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅲ）如果在上恒成立，

即在恒成立，

令， ，

，

令，解得： ，

令，解得： ，

故在遞增，在遞減，

故，

故．

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（Ⅱ）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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