Question

【題目】已知點(diǎn)列An（xn ， 0），n∈N* ， 其中x1=0，x2=1．A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，…，An+2是線段AnAn+1的中點(diǎn)，…設(shè)an=xn+1﹣xn ． （Ⅰ）寫出xn與xn﹣1、xn﹣2（n≥3）之間的關(guān)系式并計(jì)算a1 ， a2 ， a3；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ． （Ⅱ）猜想
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1= =1
∴當(dāng)n=1時(shí)， 成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí) 成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)， = ，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，公式成立．
綜上①②得，對(duì)任意n∈N* ， 公式 成立
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，An是線段An﹣2An﹣1的中點(diǎn)，可得xn與xn﹣1、xn﹣2之間的關(guān)系式，并令n=1，2，3求出答案即可．（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，猜想的通{an}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．