Question

已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導函數(shù)為f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，則|x₁-x₂|的取值范圍是（　　）

• A、[0，

  2

  3

  ）
• B、[0，

  4

  9

  ）
• C、（

  1

  3

  ，

  2

  3

  ）
• D、（

  1

  9

  ，

  4

  9

  ）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由求出函數(shù)的導數(shù)g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，利用根與系數(shù)之間的關系得到x₁+x₂，x₁x₂的值，將|x₁-x₂|進行轉化即可求出結論．

解答： 解：∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4b2-12ac

9a2

，
又a+2b+3c=0，
∴3c=-a-2b代入上式，
得|x₁-x₂|²=

4b2-12ac

9a2

=

4b2-4a(-a-2b)

9a2

=

4a2+4b2+8ab

9a2

=

4

9

[(

b

a

)2+2•

b

a

+1]=

4

9

（

b

a

+1）² ，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即-

a+2b

3

•

8a+4b

3

＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，兩邊同除以a²得：（

b

a

+2）（2•

b

a

+1）＜0；
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

，
∴0≤

4

9

（

b

a

+1）²＜

4

9

∴|x₁-x₂|∈[0，

2

3

）．
故選：A．

點評：本題考查根與系數(shù)的關系，著重考查韋達定理的使用，難點在于對條件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察數(shù)學思維的深刻性與靈活性，屬于難題．