【題目】如圖,在直三棱柱中,,,D是BC的中點
.
(1)求證:平面;
2).求二面角的大。
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)證明線面平行,可以利用線面平行的判定定理,只要證明 A1B∥OD即可;(2)可判斷BA,BC,BB1兩兩垂直,建立空間直角坐標系,用坐標表示點與向量,求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量,利用向量數(shù)量積可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值;
證明:連接,交于點O,連接OD.
由是直三棱柱,
得四邊形為矩形,
O為的中點,又D為BC中點,
所以OD為中位線,
所以,
因為平面,平面,
所以平面
(2)過D點作的平行線,因為為直三棱柱,所以平行線
垂直于底面ABC
又因為且,所以三角形為正三角形
所以,所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
設,則,所以D(0,0,0),,,
所以平面的一個法向量為.
,令,得到
又易知平面ADC與z軸垂直,
所以平面ADC的一個法向量
所以,
由圖可以看出二面角為銳角
所以二面角的大小為。
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【題目】在中, , , , 為線段的中點, 為線段的三等分點(如圖1).將沿著折起到的位置,連接(如圖2).
(1)若平面平面,求三棱錐的體積;
(2)記線段的中點為,平面與平面的交線為,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在空間中,下列命題正確的是
A.如果一個角的兩邊和另一角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等
B.兩條異面直線所成的有的范圍是
C.如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行
D.如果一條直線和平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種產品的質量以其“無故障使用時間 (單位:小時)”衡量,無故障使用時間越大表明產品質量越好,且無故障使用時間大于3小時的產品為優(yōu)質品,從某企業(yè)生產的這種產品中抽取100件,并記錄了每件產品的無故障使用時間,得到下面試驗結果:
無故障使用時間 (小時) | |||
頻數(shù) | 20 | 40 | 40 |
以試驗結果中無故障使用時間落入各組的頻率作為一件產品的無故障使用時間落入相應組的概率.
(1)從該企業(yè)任取兩件這種產品,求至少有一件是優(yōu)質品的概率;
(2)若該企業(yè)生產的這種產品每件銷售利潤 (單位:元)與其無故障使用時間的關系式為
從該企業(yè)任取兩件這種產品,其利潤記為 (單位:元),求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】[選修4—4:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點為極點,正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標方程,并指明曲線C的形狀;
(Ⅱ)設直線l與曲線C交于A,B兩點,O為坐標原點,且|OA|<|OB|,求.
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【題目】一只藥用昆蟲的產卵數(shù)y與一定范圍內的溫度x有關, 現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據如下表:
溫度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數(shù)y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得: , , , ,
,線性回歸模型的殘差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分別為觀測數(shù)據中的溫度和產卵數(shù),i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用線性回歸模型,求y關于x的回歸方程=x+(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為=0.06e0.2303x,且相關指數(shù)R2=0.9522.
( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比,用R2說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產卵數(shù)(結果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為
=;相關指數(shù)R2=.
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