Question

已知A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，sinβ≠0，sinα-kcosβ=0，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得

OA

•

OB

=

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，由三角函數(shù)的知識化簡可得sin²2β=2sin²β•sin²α，由sinβ≠0可得2cos²β=sin²α，結(jié)合已知可得k值．

解答： 解：由題意可得

OA

•

OB

=

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，
即

2

sinα

=

1

sin(α-2β)

+

1

sin(α+2β)

，
∴2sin（α-2β）•sin（α+2β）=[sin（α-2β）+sin（α+2β）]sinα，
即2sin（α-2β）•sin（α+2β）=2sin²α•cos2β，
∴cos4β-cos2α=2sin²α•cos2β，
∴cos²2β-cos²α=sin²α•cos2β=sin²α-2sin²β•sin²α，
即sin²2β=2sin²β•sin²α，
∵sinβ≠0，∴有2cos²β=sin²α，
∴k=

sinα

cosβ

=±

2

．
故答案為：±

2

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的公式的應(yīng)用，屬中檔題．