Question

已知R上的不間斷函數(shù)g（x）滿足：①當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立；②對任意的x∈R都有g(shù)（x）=g（-x）．又函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，當(dāng)x∈[0，

3

]時，f（x）=x³-3x．若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對x∈[-3，3]恒成立，則a的取值范圍______．

Answer 1

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）滿足：當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立，且對任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），
∴函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a2-a+2|對x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，
只要使得定義域內(nèi)|f（x）|max≤|a²-a+2|min，
由于當(dāng)x∈[-3，3]時，f（x）=x³-3x，
求導(dǎo)得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
該函數(shù)過點(diǎn)（-3，0），（0，0），（ 3，0），且函數(shù)在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2，
又由于對任意的x∈R都有f（

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為T=2

3

，
所以函數(shù)f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值為2，所以令2≤|a²-a+2|
解得：a≥1或a≤0．
故答案為：a≥1或a≤0．