Question

已知R上的不間斷函數(shù)g（x）滿足：①當x＞0時，g′（x）＞0恒成立；②對任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，當x∈[0，

3

]時，f（x）=x³-3x．若關于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對x∈[-3，3]恒成立，則a的取值范圍（　�。�

A．a(chǎn)≤0或a≥1

B．0≤a≤1

C．-1≤a≤1

D．a(chǎn)∈R

Answer 1

分析：由于函數(shù)g（x）滿足：①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數(shù)g（x）的導函數(shù)）；②對任意x∈R都有g（x）=g（-x），這說明函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內(nèi)的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答：解：因為函數(shù)g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立，
且對任意x∈R都有g（x）=g（-x），
則函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-3，3]恒成立，
只要使得定義域內(nèi)|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
由于當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=

-x3-3 3 x2-6x，x∈[- 3 ，0] x3-3x，x∈[0， 3 ]

，
當x∈[-

3

，0]時，令f′（x）=-3x2-6

3

x-6=0，得x=1-

3

或x=1+

3

（舍去）
∴f（x）在[-

3

，1-

3

]上單調(diào)遞增，在[1-

3

，0]上單調(diào)遞減，
∴f(x)max=f(1-

3

)=2，f(x)min=f(-

3

)=f(0)=0，
當x∈[0，

3

]時，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1（舍去），
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，

3

]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，f(x)max=f(0)=f(

3

)=0，
又由于對任意的x∈R都有f（ 

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為T=2

3

，
所以函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]的最大值為2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故選A

點評：此題考查了利用導函數(shù)求得函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，還考查了函數(shù)的周期的定義，及利用周期可以求得當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=x³-3x，的值域為[-2，2]，還考查了函數(shù)恒成立．