Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線C₂：

x2

2

-y²=1的頂點，直線x+

2

y=0與橢圓C₁交于A、B兩點，且點A的坐標為（-

2

，1），點P是橢圓C₁上異于點A，B的任意一點，點Q滿足

AQ

•

AP

=0，

BQ

•

BP

=0，且A，B，Q三點不共線．
（1）求橢圓C₁的方程
（2）求點Q的軌跡方程
（3）求△ABQ面積的最大值及此時點Q的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點，利用橢圓的定義，可得橢圓C₁的方程
（2）設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁），由題意，B（

2

，-1），利用點Q滿足

AQ

•

AP

=0，

BQ

•

BP

=0，結(jié)合點P是橢圓C₁上異于點A，B的任意一點，求點Q的軌跡方程
（3）由于|AB|=2

3

，故Q到AB的距離最大時，△ABQ的面積最大，即可求△ABQ面積的最大值及此時點Q的坐標．

解答： 解：（1）雙曲線C₂：

x2

2

-y²=1的頂點為F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
∴橢圓C₁的焦點為F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
∵橢圓過A（-

2

，1），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

4-2

=

2

，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁）
由題意，B（

2

，-1），
∴

AQ

=（x+

2

，y-1），

AP

=（x₁+

2

，y₁-1），

BQ

=（x-

2

，y+1），

BP

=（x₁-

2

，y₁+1），
由

AQ

•

AP

=0，可得（x+

2

）（x₁+

2

）=-（y-1）（y₁-1），

BQ

•

BP

=0，可得（x-

2

）（x₁-

2

）=-（y+1）（y₁+1），
兩式相乘，可得（x²-2）（x₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1），
點P是橢圓C₁上異于點A，B的任意一點，∴x₁²=4-2y₁²，
∴-2（x²-2）（y₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1），
y₁²-1≠0時，2x²+y²=5；
y₁²-1=0時，則P（-

2

，-1）或P（

2

，1），Q（

2

，1）或Q（-

2

，-1），滿足2x²+y²=5，
P與A重合時，P（-

2

，1），
y=

2

x-3代入2x²+y²=5可得Q（

2

，-1）或（

2

2

，-2）；
同理P與B重合時，Q（-

2

，1）或（-

2

2

，2）；
∴Q的軌跡方程為2x²+y²=5，除去（

2

，-1）、（

2

2

，-2）、（-

2

，1）、（-

2

2

，2）；
（3）由于|AB|=2

3

，故Q到AB的距離最大時，△ABQ的面積最大，
設(shè)與直線AB平行的直線為x+

2

y+m=0
與2x²+y²=5聯(lián)立，可得5y²+4

2

my+2c²-5=0
△=32m²-20（2m²-5）=0，可得m=±

5 2

2

，
m=

5 2

2

，y=-2，x=-

2

2

；m=-

5 2

2

，y=2，x=

2

2

；
∴Q（

2

2

，2）或（-

2

2

，-2）時，△ABQ的面積最大，最大為

1

2

|AB|×

| 2 2 + 2 ×2|

1+2

=

5 2

2

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，有難度．