Question

如圖，四邊形A A₁ C₁C為矩形，四邊形CC₁B₁ B為菱形，且平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，D，E分別是A₁ B₁和C₁C的中點(diǎn)．求證：（1）BC₁⊥平面AB₁C；
（2）DE∥平面AB₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到AC⊥平面CC₁B₁ B，再由線面垂直的性質(zhì)得到AC⊥BC₁，進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)得到B₁C⊥BC₁，利用線面垂直的判定定理可證；
（2）取AA₁的中點(diǎn)，連接DF，EF，分別判斷EF，DF與平面平面AB₁C平行，得到面面平行，利用面面平行的性質(zhì)可證．

解答： 解：（1）∵四邊形A A₁ C₁C為矩形，∴AC⊥CC₁，
又平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，CC₁B₁ B∩A A₁ C₁C=CC₁，
∴AC⊥平面CC₁B₁ B，
∵BC₁?平面CC₁B₁ B，
∴AC⊥BC₁，
∵四邊形CC₁B₁ B為菱形，∴B₁C⊥BC₁，
又B₁C∩AC=C，AC?平面A₁C，B₁C?平面AB₁C，
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）取AA₁的中點(diǎn)，連接DF，EF，
∵四邊形A A₁ C₁C為矩形，E，F(xiàn)分別是C₁C，AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，又EF?平面平面AB₁C，AC?平面AB₁C，
∴EF∥平面AB₁C，
又D，F(xiàn)分別是A₁ B₁和AA₁的中點(diǎn)，
∴DF∥A B₁，
又DF?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴DF∥平面AB₁C，
∵EF∩DF=F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面AB₁C，
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面AB₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直的判定、直線與平面平行的判定，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．