Question

設(shè)α∈（0，π），且α≠

π

2

，當(dāng)∠xOy=α?xí)r，定義坐標(biāo)系xOy為α-仿射坐標(biāo)（如圖），在α-仿射坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)這樣定義“

e1

，

e2

分別是與x軸，y軸方向同向的單位向量，若向量

OP

=x

e1

+y

e2

，則記

OP

=（x，y），下列結(jié)論正確的是

 

（寫上所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①設(shè)向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

=

b

，則有m=m，s=t；
②設(shè)向量

α

=（m，n），則|

α

|=

m2+n2

；
③設(shè)向量

α

=（m，n）

b

=（s，t），若

α

∥

b

，則有mt-ns=0；
④設(shè)向量

α

=（m，n）

b

=（s，t），若

α

⊥

b

，則有mt+ns=0；
⑤設(shè)向量

α

=（1，2）

b

=（2，1），若

α

與

b

的夾角為

π

3

，則有α=

2π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：

e1

•

e2

=cosα．
①利用向量相等可得，m=s，n=t，即可判斷出正誤；
②利用向量是數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正誤；
③利用向量共線定理即可判斷出；
④利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可判斷出正誤；
⑤利用向量數(shù)量積運(yùn)算及其向量夾角公式即可判斷出．

解答： 解：

e1

•

e2

=cosα．
①設(shè)向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

=

b

，則有m=s，n=t，因此不正確；
②設(shè)向量

α

=（m，n），則|

α

|=

m2+n2+2cosα

≠

m2+n2

，因此不正確；
③設(shè)向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

∥

b

，則有mt-ns=0，因此正確；
④設(shè)向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

⊥

b

，則有ms+nt=0，因此不正確；
⑤設(shè)向量

α

=（1，2），

b

=（2，1），

α

與

b

的夾角為

π

3

，則|

a

|=

1+4+4cosα

=

5+4cosα

，|

b

|=

4+1+4cosα

=

5+4cosα

，

a

•

b

=(

e1

+2

e2

)•(2

e1

+

e2

)=2+2+5

e1

•

e2

=4+5cosα．∴cos

π

3

=

1

2

=

a • b

| a || b |

=

4+5cosα

5+4cosα

，化為cosα=-

1

2

，則α=

2π

3

正確．
綜上可得：正確的結(jié)論為：③⑤．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．